Ferramentas Matemáticas Aplicadas - Aula 1
Aula 1 - Introdução e Sistemas de Equações
Conversa Inicial
Olá, aluno!
Seja bem-vindo à nossa primeira aula de Ferramentas Matemáticas Aplicadas!
Nesta primeira aula lhe apresentaremos o software GeoGebra, muito utilizado na elaboração de gráficos e execução de diversos cálculos matemáticos. Você aprenderá como utilizar o software GeoGebra em funções polinomiais, exponenciais, trigonométricas e alguns modelos lineares baseados em funções de primeiro grau.
O software GeoGebra é uma ferramenta matemática que permite realizar construções geométricas com a utilização de pontos, retas, segmentos de reta, polígonos etc., assim como realizar operações algébricas. Além disso, equações e coordenadas também podem ser diretamente inseridas.
O GeoGebra é capaz de lidar com números, variáveis, pontos, vetores, derivadas e integrais de funções e ainda oferecer comandos para se encontrar raízes, fatorar polinômios e achar pontos extremos de uma função. Com isso, o programa reúne as ferramentas tradicionais de geometria com outras mais adequadas à álgebra e ao cálculo, apresentando a vantagem didática de usar e representar, ao mesmo tempo e em um único ambiente visual, as características geométricas e algébricas de um mesmo objeto.
Nesta disciplina veremos, ainda, como usar a ferramenta supracitada em alguns temas específicos do cálculo diferencial integral e do cálculo numérico. Ao final, desejamos que você saiba manipular o GeoGebra e que você possa, inclusive, utilizá-lo em outras disciplinas.
Assista à videoaula MT170020-A01-P01.mp4 constante no material para conhecer os assuntos que estudaremos neste encontro.
Resumo da videoaula: MT170020-A01-P01.mp4
Neste vídeo o professor Rudnei Luiz Bogo faz uma breve apresentação da disciplina de Ferramentas Matemáticas Aplicadas e o uso do software GeoGebra.
O GeoGebra é um software matemático, extremamente dinâmico e pode ser aplicado em todos os níveis de ensino, seja ensino básico, seja superior, ou mesmo uso profissional que reúne vários elementos como a geometria, álgebra, planilha de cálculos similar ao Excel, gráficos, estatística, probabilidade e outros cálculos simbólicos, desde como achar uma raiz de uma equação até fatorar uma expressão. O software possui uma extrema facilidade em seu uso.
O software apresenta uma vantagem didática muito grande, pois ele auxilia o professor em sala de aula a ilustrar os seus cálculos. Por exemplo, na disciplina de Cálculo I, quando o professor resolve um cálculo de área via integração ele pode usar o programa para conferir os seus cálculos e ilustrar geometricamente através deste software.
Nesta primeira aula será mostrado como instalar o software e serão apresentadas as noções básicas para o primeiro uso. E ainda nesta primeira aula iremos trabalhar com elaboração e construção de gráficos de funções em 2D.
A elaboração e compreensão de gráficos de funções é muito importante pra disciplina de Cálculo I, pois as funções são o objeto de estudo desta disciplina.
Contextualizando
Em um mundo tecnológico, o uso de tecnologias em sala de aula está cada vez mais presente, seja por meio de um simples projetor multimídia, de quadros digitais e (porque não?) de softwares que auxiliem o professor no processo de ensino-aprendizagem dos seus alunos.
No ensino da disciplina de cálculo diferencial e integral, por exemplo, tem se tornado cada vez mais frequente o uso de softwares que auxiliam no esboço de um gráfico, no cálculo de um Limite, de uma Derivada ou de uma Integral. Várias pesquisas concluem que o uso de softwares educacionais potencializa a visualização e experimentação na construção dos conceitos. Assim, essas estratégias se tornam mais interessantes e atrativas que o uso apenas de giz e quadro, de modo que os alunos podem obter um aproveitamento melhor no estudo da Matemática, que apresenta um grande número de reprovações.
Diante disso, iremos utilizar um software desenvolvido especialmente para ser usado em sala de aula: o GeoGebra, uma mistura de geometria com álgebra. Veja o que o professor Rodinei tem a dizer sobre esse software assistindo à videoaula de contextualização MT170020-A01-P02.mp4, que está no material da aula.
Resumo da videoaula: MT170020-A01-P02.mp4
Neste vídeo o professor Rudnei Luiz Bogo faz a contextualização do software GeoGebra em sala de aula e apresenta alguns aspectos a respeito deste software.
- Em um mundo repleto de tecnologias, precisamos aproveitá-las ao máximo;
- Nas aulas de cálculo, geralmente teóricas e abstratas, o uso de um software (no caso o GeoGebra) é muito importante para compreensão e fixação dos conceitos pelos alunos;
- Existem vários exemplos de situações onde podemos ilustrar por meio do GeoGebra como: cálculo de áreas de figuras planas, cálculo de comprimento de curvas, volumes, cálculo de limite, equações algébricas, equações exponenciais, entre outros;
- O software GeoGebra é capaz de tornar as aulas mais dinâmicas e atrativas de modo a fazer com que o aluno tenha um aprendizado mais valioso do que as aulas convencionais.
O GeoGebra auxilia amplamente os alunos e os professores na disciplina de Cálculo I e em todas as outras disciplinas em que pode ser usado o software GeoGebra.
Construindo um círculo trigonométrico no GeoGebra
Vamos assistir a um vídeo que possibilita entender, a partir da construção de um círculo trigonométrico pelo GeoGebra, como variam os valores de seno, cosseno e tangente de qualquer ângulo no círculo trigonométrico.
Figura 1: Círculo Trigonométrico feito no GeoGebra.
Cálculo de áreas sob curvas pela integral definida
Outro exemplo que podemos citar do uso do GeoGebra é no cálculo de áreas sob curvas pela integral definida. O vídeo a seguir nos mostra como o GeoGebra é capaz de algebrizar e geometrizar simultaneamente esse problema.
Vídeo: Integral Definida.mp4
Figura 2: Integral Definida feita no GeoGebra.
Pesquise
1. Apresentação do software GeoGebra para construções e interpretação de gráficos de funções
Inicialmente, o aluno deve acessar o site do GeoGebra, fazer o download do programa e instalar em seu computador ou notebook. Para auxiliá-lo nessa etapa, basta ver o vídeo a seguir, que mostrará todos os passos até a utilização do programa:
Após a instalação, faça a leitura do capítulo 1 do manual do GeoGebra (arquivo em .pdf) para entender melhor a interface geral do GeoGebra.
Entendida essa primeira parte, vamos aprender como trabalhar com o esboço de gráficos de funções de uma variável real no GeoGebra!
Primeiramente, abra o programa clicando duas vezes seguidas no ícone do programa que se encontra na tela inicial do seu computador. Após a instalação do programa, vamos focar o seu uso voltado às funções de uma variável real cujo gráfico é representado pelo sistema de coordenadas cartesianas (retangulares).
No GeoGebra, além de esboçar o gráfico de uma função, é possível realizar diversas operações matemáticas com funções, tais como: soma de funções, produto de funções, quociente de funções, funções compostas, entre outros.
Para mais informações sobre a tela inicial do GeoGebra, assista à videoaula a seguir:
Resumo da videoaula: MT170020-A01-P03.mp4
Após a instalação do Geogebra o professor Rudnei Luiz Bogo apresenta algumas noções gerais sobre o uso deste software, descrevendo o menu superior e algumas ferramentas da barra de ferramentas. Em seguida é mostrado os campos de entrada (onde são digitadas as fórmulas) e as janelas de álgebra e de visualização do gráfico.
2. Funções exponenciais e polinomiais
Dentre os diversos comandos que o software GeoGebra possui, usaremos o comando “Função” que permitirá esboçar o gráfico de uma função em um intervalo definido.
Função [<Função>, <Valor de x inicial>, <Valor de x final>]
Utilizaremos desse comando para tratar de dois tipos especiais de funções: as funções polinomiais e exponenciais.
Exemplo 1: Sabe-se que uma função polinomial é da forma:
f(x)=anxn+an−1xn−1+...+a2x2+a1x+a0
Agora, use o GeoGebra para fazer o gráfico de um caso específico de funções polinomiais, a função g(x)=2x2−3x+1 no intervalo de [−1,2].
No campo “Entrada” do GeoGebra, digite “Função[2x^2-3x+1,-1,2]” e pressione “enter”. Com esse comando, obtemos a função representada graficamente na Janela de Visualização do Geogeobra e algebricamente na Janela de Álgebra:
Figura 3: Gráfico de um caso específico de funções polinomiais, a função g(x)=2x2−3x+1 no intervalo de [−1,2]
Podemos observar que a função representa uma parábola com concavidade voltada para cima e, além disso, a função possui duas raízes, pois intercepta o eixo x em dois pontos.
O arquivo pesquise2-ex1.ggb está salvo em anexo na pasta da Aula 1.
Exemplo 2: As funções exponenciais são da forma f(x)=ax, a>0. Dentre todas as funções deste tipo, a mais comum é quando a=e (número de Euler), ou seja, f(x)=ex. Faça o gráfico desta última função no GeoGebra sem destacar um intervalo.
Neste caso, não precisamos definir um intervalo específico para o gráfico da função. Logo, no campo de Entrada do GeoGebra, digite apenas “exp(x)”. Observe, na próxima figura, que agora o programa esboçou o gráfico sem considerar um intervalo e sem o uso do comando “Função”.
Figura 4: As funções exponenciais são da forma f(x)=ax, a>0.
É interessante observar que o gráfico da função não intercepta o eixo , apenas o eixo e em = 1 quando = 0.
O arquivo pesquise2-ex2.ggb está salvo em anexo na pasta da Aula 1.
Exemplo 3: Esboce os gráficos das funções () = − 2 e () = −2 + 1 e ache os pontos de intersecção entre as curvas.
Figura 5: Através do comando intersecção de dois objetos encontramos os pontos de intersecção entre as curvas.
O arquivo pesquise2-ex3.ggb está salvo em anexo na pasta da Aula 1.
Agora, veja a videoaula MT170020-A01-P04.mp4 disponível no material da aula!
Resumo da videoaula: MT170020-A01-P04.mp4
O segundo tema apresentado pelo professor é Funções Exponenciais e Polinomiais. No vídeo é mostrado a resolução do exemplo 3, escrevendo uma função de cada vez no campo entrada e com a opção intersecção de dois objetos selecionada clicamos próximo dos pontos de intersecção, os quais o software denomina de A e B.
3. Funções trigonométricas
A utilização do GeoGebra com as funções trigonométricas exige o conhecimento prévio da sintaxe de cada função, ou seja, a função () = () deve ser digitada na forma () = sin(). Para saber a sintaxe correta de cada função, abra a janela principal do GeoGebra e clique com o mouse no símbolo de interrogação ao lado do campo entrada indicado pela “flecha vermelha”, conforme mostra a figura a seguir.
Feito isso, várias opções irão aparecer. Basta clicar em Funções Matemáticas.
Pronto, agora todas as funções trigonométricas estão à sua disposição!
Exemplo 1: Esboce o gráfico da função () = sin() + cos(), onde 0 ≤ ≤ 2.
O arquivo pesquise3-ex1.ggb está salvo em anexo na pasta da Aula 1.
A solução para este exemplo está na videoaula MT170020-A01-P05.mp4 referente a este tema, que está disponível no material da aula!
Exemplo 2: Dada as funções () = cos(x) e () = 2, onde – ≤ ≤ , esboce o gráfico da função ℎ() = (()).
A função (()) refere-se à função composta de com . Primeiramente, faremos o gráfico das funções e de forma separada, isto é:
f(x)=Função[(), −, ]
g(x)=Função[2, −, ]
Dessa forma, o GeoGebra irá construir o gráfico de cada função isoladamente. Na sequência, digite apenas (()) no campo de entrada do GeoGebra e o gráfico será representado na janela de visualização do programa.
Observe, no gráfico, que o programa distingue o gráfico de cada função por cores. Logo, o gráfico de cor verde representa a função composta (()).
O arquivo pesquise3-ex2.ggb está salvo em anexo na pasta da Aula 1.
4. Modelos Lineares
Quando dizemos que é uma função linear de , queremos dizer que o gráfico da função é uma reta. Assim, podemos escrever que um modelo linear é da forma = () = + , onde é o coeficiente angular da reta e é a intersecção com o eixo . Vamos ilustrar, agora, a resolução de problemas desse tipo com o software GeoGebra.
Exemplo 1: À medida que o ar seco se move para cima, ele se expande e esfria. Se a temperatura do solo for de 20º C e a temperatura a uma altitude de 1 km for de 10º C, expresse a temperatura T (em º C) como uma função da altitude h (em km), supondo que um modelo linear seja apropriado. Faça o gráfico da função e responda qual será a temperatura a 2,5 km de altura.
Solução:
No GeoGebra criamos o ponto A escrevendo entre parênteses (0,20) onde x é altitude e y representa temperatura. Em seguida criamos o ponto B escrevendo no campo de entrada (1,10) onde x é a altura de 1 km e y é a temperatura de 10º.
Com esses dados podemos obter uma equação da reta através do comando Reta. Com a ferramenta Reta selecionada clicamos primeiramente no ponto A e depois no ponto B. O programa nos retorna a equação da reta f:10+y=20. Clicando nesta função com o botão direito do mouse podemos isolar o y. Temos que a função temperatura t é t(x)=-10x+20. Em seguida substituímos x por 2,5 na função t(x) e obtemos a temperatura de -5º.
Figura 6: Com a ajuda do GeoGebra descobrimos que a temperatura a 2,5 km é de -5º.
O arquivo pesquise4-ex1.ggb está salvo em anexo na pasta da Aula 1.
Exemplo 2: A tabela a seguir fornece uma lista de níveis médios de dióxido de carbono na atmosfera, medidos em partes por milhão no Observatório de Mauna Loa em Hilo, no Havaí, de 1980 a 2002. Use os dados da Tabela para encontrar um modelo linear para o nível de dióxido de carbono. Use o modelo para estimar o nível médio de 2 em 1987 e para predizer o nível para o ano de 2005.
Ano Nível de (em ppm) Ano Nível de (em ppm)
1980 338,7 1992 356,4
1982 341,1 1994 358,9
1984 344,4 1996 362,6
1986 347,2 1998 366,6
1988 351,5 2000 369,4
1990 354,2 2002 372,9
Solução:
No GeoGebra inserimos os dados do primeiro ano e a sua quantidade de CO2 e último ano e a sua quantidade de CO2. Dessa forma, criamos o ponto A escrevendo entre parênteses (1980,338.7) onde x é o ano e y representa quantidade de CO2. Em seguida criamos o ponto B escrevendo (2002,372.9) onde x é o ano e y representa quantidade de CO2.
Logo obtemos a equação da reta com a ferramenta Reta clicando nos pontos A e B f:y=1.555455x-2739.3. Em opções, no item Arredondamento marcamos a opção 5 casas decimais para evitar erros no cálculo. Em seguida digitamos a função carbono C(x)= 1.555455x-2739.3 e estimamos o nível de carbono no ano de 1987 pela função C(1987) que nos retorna o valor de 349.59085 e para predizer a quantidade de carbono no ano de 2005 digitamos C(2005) que nos retorna (377.57275).
O arquivo pesquise4-ex2.ggb está salvo em anexo na pasta da Aula 1.
Veja a solução para esses exemplos na videoaula MT170020-A01-P06.mp4 disponível no material da aula!
5. Resolução de problemas
Biólogos notaram que a taxa de estrilos de uma certa espécie de grilo está relacionada com a temperatura de uma maneira que aparenta ser linear. Um grilo estrila 112 vezes por minuto a 20º C e 180 vezes por minuto a 29º C. Encontre um modelo linear onde a temperatura T é dada em função de número de estrilos por minutos N. Se os grilos estiverem estrilando 150 vezes por minuto, estime a temperatura.
Veja a resolução deste problema assistindo à videoaula MT170020-A01-P07.mp4 correspondente a este tema, que consta no material.
Resumo da videoaula: MT170020-A01-P04.mp4
No GeoGebra inserimos a primeira informação pra obter o ponto A escrevendo (112,20) no campo de entrada. Em seguida escrevemos os dados do ponto B (180,29). E com a ferramenta Reta definimos a equação da reta clicando nos pontos A e B. Definimos a função T(x)=0.13235x+5.17647 e em seguida obtemos a temperatura para 150 estrilos por minuto digitando T(150) o que nos retorna o valor de 25.02897º.
Na Prática
Faça o gráfico no GeoGebra das seguintes funções:
1. g(x)= x9+x4, x ∈ [−2,2]
2. h(x)= 10x, x ∈ [−2,2]
3. f(x)= tan(x), x ∈ [−π,π]
Resolução:
g(x)= x9+x4, x ∈ [−2,2]
1. No campo de entrada do GeoGebra, digite: “g(x)=Função[x^9+x^4,-2,2]”.
h(x)= 10x, x ∈ [−2,2]
2. No campo de entrada do GeoGebra, digite: “h(x)=Função[10^x,-2,2]”.
f(x)= tan(x), x ∈ [−π,π]
3. No programa GeoGebra, digite: “f(x)=Função[tan(x),-π,π]”.
Síntese
Muito bem! Chegamos ao final da primeira aula com o software GeoGebra. Antes de prosseguir com seus estudos, assista ao vídeo MT170020-A01-P08.mp4 e relembre o que foi visto até agora!
Resumo da videoaula: MT170020-A01-P04.mp4
Introdução ao uso do GeoGebra;
Importância e aplicabilidade do GeoGebra;
Aplicação na construção de gráficos de funções trigonométricas;
Funções lineares e equações de retas que passam por dois pontos;
2ª Semana
24/07 a 31/07 Estudar a Aula TEÓRICA 2.
Estudar a Aula Prática Um.
29/07 e-Aula 1 com interatividade via Fórum.
24/07 a 07/08 Primeira Atividade Pedagógica Online - APOL 1.
Aula 02 - Sistema de Equações
Conversa Inicial
Oi, aluno(a). Tudo bem? Seja bem-vindo à segunda aula de Ferramentais Matemáticas Aplicadas. Nosso objetivo, nesta aula, é apresentar o Geogebra para a resolução de sistemas de equações lineares. Para tanto, vamos comentar sobre os principais aspectos acerca do uso do GeoGebra para resolver sistemas lineares, bem como resolver sistemas lineares do tipo possível e determinado, possível e indeterminado e indeterminado.
Confira a fala inicial do professor Rudinei, no vídeo MT170020-A02-P01.mp4.
Resumo da videoaula: MT170020-A02-P01.mp4
Nessa segunda aula iremos tratar de um importante tema da álgebra linear conhecido como sistema de equações lineares. Vamos aprender a resolver sistemas de equações lineares com duas equações e duas incógnitas, três equações e três incógnitas, e sistemas com mais de três equações e mais de três incógnitas com a ajuda do software GeoGebra.
Contextualizando
Os sistemas de equações lineares são de suma importância quando se trata de modelar e resolver problemas de diversas áreas. Na Química, por exemplo, sabemos que o Hidrogênio (H2) reage com o oxigênio (O2) para produzir água (H2O). Mas, quanto de hidrogênio (H2) e oxigênio precisamos? Esta é uma mudança que podemos descrever do seguinte modo: x moléculas de H2 reagem com y moléculas de O2, produzindo z moléculas de H2O. Ou, esquematicamente:
xH_2+yO_2→zH_2 O
O que permanece constante nessa mudança? Como os átomos não são modificados, o número de átomos de cada elemento no início da reação deve ser igual ao número de átomos desse mesmo elemento, no fim da reação.
Assim, para o hidrogênio, devemos ter 2x = 2z, e para o oxigênio, 2y = z. Portanto, as nossas incógnitas x, y e z devem satisfazer as equações:
{█(2x-2z=0@2y-z=0)┤
Logo, temos um sistema de equações lineares para este problema e vamos aprender a resolve-lo usando o programa Geogebra. A resposta para este problema você verá ao final desta aula.
Sobre esta reflexão, assista ao vídeo a seguir: MT170020-A02-P02.mp4.
Resumo da videoaula: MT170020-A02-P02.mp4
Nessa parte da aula veremos a importância de aprender a trabalhar com equações lineares.
Os Sistemas de Equações Lineares são úteis para todos os campos da Matemática Aplicada, em particular, quando se trata de modelar e resolver numericamente problemas de diversas áreas.
Nas Engenharias, na Física, na Biologia, na Química e na Economia, por exemplo, é muito comum a modelagem de situações por meio de sistemas lineares.
Exemplo:
Na Química, sabemos que o hidrogênio (H2) reage com o oxigênio (O2) para produzir água (H2O). Mas, quanto de hidrogênio e de oxigênio precisamos? Este é um problema que pode ser modelado por um sistema com duas equações e duas incógnitas.
Pesquise
1. O uso do Geogebra na resolução de sistemas de equações lineares
O Geogebra é uma ferramenta matemática incrível, que permite a união entre a geometria e a álgebra de um problema para um melhor entendimento do aluno. Em se tratando de sistemas de equações lineares, o Geogebra permite justamente a sua resolução algébrica e, também, a visualização geométrica. Antes de começarmos a entender como utilizaremos o Geogebra para resolver um sistema de equações lineares, é importante assistir o vídeo a seguir:
Pesquise - Tema 1 - Tutorial Geogebra _ Exemplo 2.5 _ Sistemas equações lineares com duas variáveis.mp4
Resumo da videoaula: Tutorial Geogebra - Exemplo 2.5
No vídeo é mostrado a solução gráfica do sistema de equações g:3x+4y=13 e h:y=2x-8.
Com ajuda do GeoGebra desenhamos as duas retas inserindo seus dados no campo de entrada do software e depois com a ferramenta intersecção de dois objetos clicamos onde as retas se cruzam e encontramos a solução: A=(4,0).
Agora, para podermos entender geometricamente a solução de um sistema de três equações lineares e três incógnitas, é necessário instalar um material (applet) que permitirá fazer tal análise. Acompanhe como, a seguir!
MT170020-A02-P03.mp4
Resumo da videoaula: O Uso do GeoGebra na Resolução de Sistemas de Equações Lineares
Neste primeiro tema desta segunda aula vamos fazer apenas uma referência à possibilidade de você interpretar geometricamente um sistema com três equações e três incógnitas, o famoso 3X3.
Para isso nós precisaremos baixar um aplicativo adicional que vai permitir ao GeoGebra a possibilidade de trabalhar com sistemas 3X3 no seguinte link:
https://www.geogebra.org/material/show/id/631535
Ao acessar o link basta baixar o componente e abrir com o software Geogebra.
Figura 7: Visualização do aplicativo 3X3 para solução de sistemas com três equações e três incógnitas.
Assim você poderá perceber que quando você trabalha com sistemas de três equações e três incógnitas cada equação será representada por um plano. Ou seja, teremos três planos e a intersecção desses planos irá gerar um ponto ou uma reta e assim obter a solução deste sistema. Se for um ponto, temos uma solução única para o sistema. Se for uma reta, são infinitas soluções para este sistema. Caso não ocorra intersecção entre esses três planos não há solução para este sistema.
2. Sistemas com duas equações e duas incógnitas
Exemplo 1
Com o uso do Geogebra, resolva o seguinte sistema linear:
{█(2x+y=5@x-3y=6)┤
Solução: Sabemos que a solução geométrica de um sistema linear com duas equações e duas incógnitas é o ponto de intersecção de duas retas. Logo, no campo de entrada do GeoGebra, digite cada umas das equações do sistema:
r:2x+y=5 [Enter]
s:x-3y=6 [Enter]
Figura 8: A solução para o sistema se encontra em x = 3 e y = –1.
Após ter realizado esse passo, você observará que as duas retas se interceptam em um ponto. Como visto na aula anterior, marque o ponto de intersecção e você terá encontrado a solução do sistema.
Exemplo 2
Considerando agora o sistema linear a seguir, encontre a solução com o GeoGebra.
{█(2x+y=5@6x+3y=15)┤
Solução: No campo de entrada do GeoGebra, digite:
r:2x+y=5 [Enter]
s:6x+3y=15 [Enter]
Agora, observe que as duas retas que formam o sistema linear coincidem.
Neste caso, vemos que qualquer ponto de uma das retas é solução de sistema. Tomando a primeira equação e isolando a incógnita y, por exemplo, obtemos:
y=5-2x
Assim, para cada valor de x, obtêm-se uma solução diferente. Portanto, esse sistema admite infinitas soluções.
Exemplo 3
No Geogebra, resolva:
{█(2x+y=5@6x+3y=10)┤
Solução: No campo de entrada do Geogebra, digite:
r:2x+y=5 [Enter]
s:6x+3y=10 [Enter]
Observe a seguir que, geometricamente, temos duas retas no plano que não possuem nenhum ponto em comum, pois são paralelas, e o sistema não tem solução.
Assista no vídeo a seguir o professor Rudinei tratando do tema que estamos estudando.
MT170020-A02-P04.mp4
Resumo da videoaula: Sistemas com Duas Equações e Duas Incógnitas
Neste segundo tema iremos aprender a resolver sistemas de equações lineares com duas equações e duas incógnitas. O professor mostra a solução do Exemplo 1 usando o GeoGebra, digitando as equações, uma de cada vez no campo entrada e clicando na intersecção das retas com a ferramenta intersecção de dois objetos selecionada. O ponto criado é a solução do Sistema.
O professor mostra também como resolver o sistema através de matriz ampliada, que é formada pelos coeficientes de x, y e o vetor B.
O comando é C={{2,1,5},{1,-3,6}} e após entrar com o comando Solução=MatrizEscalonada(C).
Figura 9: Solução do sistema de equações através da intersecção e também por MatrizEscalonada.
3. Sistemas com três equações e três incógnitas
Exemplo 1
No Geogebra, resolva o sistema linear:
{█(x+3y+z=0@2x-y+4z=0@-x-3y+z=0)┤
Verifique a solução no vídeo a seguir:
MT170020-A02-P05.mp4
Resumo da videoaula: Sistemas com Três Equações e Três Incógnitas
Neste terceiro tema iremos resolver um exemplo de um sistema de equações lineares com três equações e três incógnitas.
Figura 10: Intersecção de um sistema de três equações e três incógnitas.
O professor usa o método de MatrizEscalonada para resolver este sistema, logo após no menu exibir é ativada a visualização 3D e com a ferramenta intersecção de dois objetos clicamos na intersecção dos planos para mostrar a solução do sistema.
E-AULA - 01
Introdução
O Professor Ricardo Zanardini iniciou a primeira e-Eula de Ferramentas Matemáticas Aplicadas apresentando o software GeoGebra e também as possibilidades e procedimentos para se trabalhar com funções utilizando o GeoGebra, o qual possibilita fazermos gráficos de funções, assim como resolver problemas reais por meio desse software. Serão estudados também os sistemas de equações, o que são sistemas de equações, exemplos práticos e como podemos resolver sistemas utilizando o GeoGebra.
GeoGebra
Geometria + Álgebra
O GeoGebra é um software matemático livre desenvolvido por Markus Hohenwarter, da Universidade de Salzburb, Áustria, a partir de 2001.
O software é basicamente destinado à educação matemática e reúne álgebra, cálculo e geometria.
Ferramentas Matemáticas Aplicadas
Nesta disciplina abordaremos:
Gráficos de funções em 2D;
Resolução de sistemas de equações lineares;
Aplicações do Cálculo I;
Solução de Equações Diferenciais Ordinárias;
Interpolação e ajuste de curvas;
Integração numérica.
Na e-Aula 01 estudaremos:
Gráficos de funções em 2D;
Resolução de sistemas de equações lineares.
Resolução de exercícios
Exercício 1: Encontre as raízes da função y=x²+6x-7.
Vimos que por meio do GeoGebra foi fácil encontrar as raízes de uma função de grau dois, que pode ser obtida manualmente pela fórmula quadrática. A vantagem do Geogebra é que podemos obter também raízes de outras funções como: polinomiais, de graus maior ou igual a dois e também funções quais quer que possuem raízes.
Exercício 2: Quais são as raízes da função y=-x³-5x²+9x+11?
Exercício 3: A receita de uma empresa é dada por R(x)=198x e os custos por C(x)=111x+4600 onde x é a quantidade comercializada de uma determinado produto. Faça o gráfico de cada uma das funções. Em seguida, determine o respectivo ponto de equilíbrio.
Usando a ferramenta Intersecção de dois objetos obtemos o resultado:
Ou seja, é necessário 53 ou mais produtos para que a empresa tenha lucro.
Exercício 4: Seja L(x)=740x-0,06x² a função que fornece o lucro em função do preço venda x de um determinado produto. Determine qual deve ser o preço x de modo que o lucro seja máximo.
Para resolver esse problema foi utilizado o recurso Otimização para encontrar o extremo da função.
Ou seja, 6.166,67 é o preço que maximiza o lucro.
Exercício 5: Uma indústria de móveis fabrica mesas para sala de jantar. A relação entre o preço de venda de cada mesa e o lucro referente à venda desses produtos é dado pela função L(x)=-10x²+11000x-3000. Determine o preço de cada mesa de modo que o lucro seja o maior possível.
Ou seja, através de ferramenta de otimização obtemos que o preço que maximiza o lucro é R$ 550,00.
Exercício 6: A relação entre o preço de venda e o lucro de um certo produto é dado pela função L(x)=-2x²+800x. Determine:
a) O preço que maximiza o lucro.
O preço que maximiza o lucro é R$ 200,00.
b) O lucro máximo.
O lucro máximo é R$ 80.000,00.
c) Os valores de x tais que o lucro seja zero.
Os valores de x para lucro zero são: x’=0 e x’’=400
Sistemas de Equações Lineares
O professor apresentou um exemplo de duas pessoas que foram em uma lanchonete e queriam saber os respectivos preços dos itens consumidos.
Exercício 7: Um casal foi a uma lanchonete. Marina consumiu um sanduíche e um suco e pagou R$ 22,00. Leandro consumiu dois sanduíches e um suco, totalizando R$ 34,00. A partir dessas informações, determine o preço de cada sanduíche e o preço de cada suco.
Assim, através do comando MatrizEscalonada[A], obtemos que x=12 e y=10. Para x=sanduíche e y=suco.
Exercício 8: Resolva o sistema linear {(3x+4y=26)¦(2x-6y=0)}
A={{3,4,26},{2,-6,0}}
MatrizEscalonada[A]
Exercício 9: Resolva o sistema linear {(5x+2y=7)¦(10x+4y=8)}
Sistema sem solução
Exercício 10: Resolva o sistema linear {■(x+3y+z=5@2x+6y+2z=10@3x+9y+3z=15)}
Sistema indeterminado, pois tem infinitas funções.
3ª Semana
31/07 a 07/08 Estudar a Aula TEÓRICA 3.
4ª Semana
07/08 a 14/08 Estudar a Aula TEÓRICA 4
Estudar a Aula Prática Dois.
12/08 e-Aula 2 com interatividade via Fórum.
31/07 a 14/08 Segunda Atividade Pedagógica Online - APOL 2.
5ª Semana
14/08 a 21/08 Estudar a Aula TEÓRICA 5.
07/08 a 21/08 Terceira Atividade Pedagógica Online - APOL 3.
6ª Semana
21/08 a 28/08 Estudar a Aula TEÓRICA 6.
Estudar as Aulas Práticas Três e Quatro.
26/08 e-Aula 3 com interatividade via Fórum.
14/08 a 28/08 Quarta Atividade Pedagógica Online - APOL 4.
21/08 a 04/09 Quinta Atividade Pedagógica Online - APOL 5.
24/07 a 04/09 Realize a atividade prática conforme seu enunciado.
Comentários
Postar um comentário